Bourbaki　数学原論　集合論 1　番外編

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ここではBourbaki　数学原論　集合論 1　の 演習問題、並びに、推論法則(Cで表される。仏:Crite´re Deductif) や、本文中で証明されなかったものを適宜示す。 加えて、Bourbakiに関する小話や、現代の用語との対応についても、必要とする読者の為に、提供する。 (この番外編では、解答の制作次第、適宜掲載していく。　読者によって、私の誤りが認められた場合には、コメント部分での指摘を乞う。) S1〜S4、C1〜C21を列挙する。(Cの証明は除く) 明示的公理と非明示的公理はそれぞれ　定数　変数を有する。 定数である対象式の場合は、対象式としての文字xは、他の文字(としての対象式)には置き換えられない。 然らざる場合、つまり変数の場合には対象式xに関してその性質が真となるのならば、他の対象式としての文字に置き換え得る。 シェーマを適用することで得る関係式を非明示的公理という。 S1. \begin{align}A\end{align}が T.  の関係式ならば、関係式\begin{align}(AouA)\Rightarrow A\end{align}は T.  の公理である。 S2. \begin{align}A,B\end{align}が T. の関係式ならば、関係式\begin{align}A\Rightarrow (AouB)\end{align}は T.  の公理 S3. \begin{align}A,B\end{align}が T. の関係式ならば、関係式\begin{align}(AouB)\Rightarrow (BouA)\end{align}は T  の公理である。 S4. \begin{align}A,B,C\end{align}が T. の関係式ならば、関係式\begin{align}(A\Rightarrow B)\Rightarrow ((CouA)\Rightarrow (CouB))\end{align}は T. の公理である。 C1. (三段論法) \begin{align}A,B\end{align}を理論 T. における関係式とする。\begin{align}A,A\Rightarrow B\end{align}が T   の定理であれば、\begin{...
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このブログは東京都にある某高校出身の某部の生徒のOBが主体で作ってるブログ。基本オタクとナードで構成されている部活なので実質何かしらのオタクである。

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0ny4n5pon (おにゃんこぽん)　初代の部長だった人
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Bourbaki　数学原論　集合論1

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【第二回】 第一回の続きである。 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ◤解説◥ (第1章,§1,n°1) ☆.1　論理記号について 論理記号の直観的な用法については後述する。 結論として、この四つの論理記号があれば他の論理記号を 省略記法として 記述できる。 ☆.2　文字について 実際には、数学的帰納法などの論証の際に、添字付きの文字   A_1,A_2,A_3,...,A_n-1,A_n  なども利用する。 ☆.3　記号列について これは、 T    で用いる 三 種類の記号を用いて、 左から右に書く、 有限の 列である。 **　で囲ってある例にある記号列は通常は 　　 τ_ x {( x∈ A' )∨x∈ A" }　と表される ((前原),p.10,l.15,からl.17) ☆.4　定義について　(前原),p.9,l.18からp.10,l.3 *ヒルベルト空間とは距離が完備な内積空間である*と言ったような、日常的に数学で用いる言葉としての定義もある。無駄に定義をし過ぎても、なぜこんな定義をしたのか？等、疑念が湧くことさえある。 (実は同じ定義の内容であっても、様々な名称が付いていたりする。) ただこれは、*可換環はAで表す*や、*虚数単位をiで表す*といった習慣によって混乱を避けることも可能である。(記述しようとしている数学的理論の内容で多くに現れる用語とか記号とが混同しないように　といった配慮のときもある。) ☆.5　定義と記号列の例　　(前原),p.10,l.4からl.16 1)  ∨¬を⇒によって表わす　というのは、省略記法(即ち、定義)の一つの例である。 *これを省略記法として導入したのは、 記号列としての文字A,Bを考え、∨¬ABという記号列を考えれば、真理値は⇒ABを表される記号列と一致することからの帰結である。* 2)  これらの例はn°3で再び活用される。 (前原)(p.10,l.19からl.23)の**で囲まれた部分の補足。 ≪Eの完備化≫は文字Eが文字Aと置き換えらえてしまうと、全く別の意味(性質)になってしまう。しかし、 文字xを含む定積分は文字xを文字yに置き換えても全く式に影響を与えない。そこで、こ...
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Bourbaki 数学原論　集合論 1

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【第一回】 ここでは、Nicolas Bourbaki Éléments de　mathématiques  Théorie des ensembles (1966 第三版) Chapitres 1et 2 の日本語訳である、 ブルバキ　数学原論　集合論1(訳:前原 昭二 1968)　の引用による解説を行う。 1.国立国会図書館のNDLのサービス又は当館利用によってBourbakiの文献を参考とすることを前提とする。 (適宜、原著も引用する。) 2. '読者への注意'、'第一章を読むための注意'、 は省略する。 3.ブルバキの記述を現代の数学の用語に当てはめることは基本的にはしない。 原論は独自の論理体系であるから、現代の用語に当てはめることは却って、 (数学的知識を所有していないとしている)読者の理解を妨げるからである。 4.その他記号の用法は日本語訳のブルバキに従う。 (ⅰ.*　* で挟んである文章は論理的にまだ読まなくても支障をきたさない。実際に解説中に飛ばすこともある。 ⅱ.反復を避けるための原書の略記号 ···(resp.----)を  ···〘----〙でおきかえてある。 ⅲ.《演習》の難問には、¶を付してある。 ⅳ.第一章、第一節、第一項を　第1章,§1,n°1 と引用する。 若しくは、例えば、 日本語訳の集合論1 1968の第10ページ第5行を(前原)p.10,l.5と引用し、 原著の集合論 Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006の第10ページ第5行(Bo)p.10,l.5　と引用する。 ⅴ.☆によって用語の解説の見出しが後に続くことを示す。) 5.翻訳の原著との比較、推察によって誤字脱字、誤訳とが私見によってみとめられた場合には適宜修正案を呈示する。 6.私は、ブルバキストでも、ノンブルバキストでもない。 7.この一連の著作には、囂々たる非難の一声も存することは認識しているが、 それは、読破した者による批評であれば道理を有しているが、然らざる人々は 先の者達の言説を借言し、それに身を委ねている。 然らざる人々の態度は数学的にも、科学的にも健全な態度ではない。 数学の中で、困難を避け続けることはできない。故に、困難に立ち向かう技術、精神を養うことは決して無駄な事ではない。 第一回　...
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Bourbaki　数学原論　集合論 1

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 【第四回】 第三回の続きである。 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ◤解説◥ ☆.1　構成手続きについて (前原)(p.13,l.26からp.14,l.10) 第一種、第二種というのは理論 T   で扱う記号についての単なる分類である。 この、第一種、第二種の記号列を構成手続きという記号列の記号列で考えれば、これらの記号列はそれぞれ、対象式、関係式であることがわかる。 従って、逆に考えると対象式、関係式を考える場合には、構成手続きの中で第一種と第二種の記号列とを考える必要がある。 例　(前原)(p.14,l.11からl.21) 　　　　　　　　　　A 　　　　　　　　　　A' 　　　　　　　　　　A"　これら三つは条件a) 　　　　　　　　　∈AA' 　　　　　　　　　∈AA"   これら二つは条件e) 　　　　　　　　  ¬∈AA'　これは条件b) 　　　　　　　  ∨¬∈AA"　これは条件c) 　　　　　　　    ┌────┐ 　　　　　　　　┌─┐ 　　　　　　　　τ∨¬∈□A'∈□A"　これは条件d) である。従ってこの記号列の列は構成手続きである。 構成手続きの条件は　a),e),b),c),d)の(b,c,dの順番はなんでも良い)手順で記号列Aを見ることになる。何故なら、 まず記号列Aは第一種の記号列であるから構成手続きの条件a)を満たす。 次に、構成手続きの条件として第一種の記号列が現れる条件はe)である。 さすればその記号列は第二種の記号列になる。従って、条件に第二種の記号列が現れるのは　条件b),c),d)であることから分かる。 故に、1項での例(前原)(p.11,l.22からl.26)は構成手続き中で考えれば、条件d)を適用できる。 従ってτのついた記号列となり、構成手続き中にある第一種の記号列だから、対象式となる。  (前原)(p.14,l.22からp.15,l.5)の注意の部分 直観的には 対象式とは 対象 を表す記号列である。とあるが、この、対象とは直観的にいえば、数学的対象のことである。即ち、対象式とは数学的 対象 を表す記号列のことである。 関係式とは対象についての 主張 ...
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