Bourbaki　数学原論　集合論 1　番外編

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ここではBourbaki　数学原論　集合論 1　の 演習問題、並びに、推論法則(Cで表される。仏:Crite´re Deductif) や、本文中で証明されなかったものを適宜示す。 加えて、Bourbakiに関する小話や、現代の用語との対応についても、必要とする読者の為に、提供する。 (この番外編では、解答の制作次第、適宜掲載していく。　読者によって、私の誤りが認められた場合には、コメント部分での指摘を乞う。) S1〜S4、C1〜C21を列挙する。(Cの証明は除く) 明示的公理と非明示的公理はそれぞれ　定数　変数を有する。 定数である対象式の場合は、対象式としての文字xは、他の文字(としての対象式)には置き換えられない。 然らざる場合、つまり変数の場合には対象式xに関してその性質が真となるのならば、他の対象式としての文字に置き換え得る。 シェーマを適用することで得る関係式を非明示的公理という。 S1. \begin{align}A\end{align}が T.  の関係式ならば、関係式\begin{align}(AouA)\Rightarrow A\end{align}は T.  の公理である。 S2. \begin{align}A,B\end{align}が T. の関係式ならば、関係式\begin{align}A\Rightarrow (AouB)\end{align}は T.  の公理 S3. \begin{align}A,B\end{align}が T. の関係式ならば、関係式\begin{align}(AouB)\Rightarrow (BouA)\end{align}は T  の公理である。 S4. \begin{align}A,B,C\end{align}が T. の関係式ならば、関係式\begin{align}(A\Rightarrow B)\Rightarrow ((CouA)\Rightarrow (CouB))\end{align}は T. の公理である。 C1. (三段論法) \begin{align}A,B\end{align}を理論 T. における関係式とする。\begin{align}A,A\Rightarrow B\end{align}が T   の定理であれば、\begin{...
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Bourbaki　数学原論　集合論1

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【第二回】

第一回の続きである。


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◤解説◥
(第1章,§1,n°1)
☆.1　論理記号について

論理記号の直観的な用法については後述する。
結論として、この四つの論理記号があれば他の論理記号を省略記法として記述できる。

☆.2　文字について

実際には、数学的帰納法などの論証の際に、添字付きの文字   A_1,A_2,A_3,...,A_n-1,A_n  なども利用する。

☆.3　記号列について

これは、T    で用いる三種類の記号を用いて、
左から右に書く、有限の列である。

**　で囲ってある例にある記号列は通常は
　　τ_x{(x∈A')∨x∈A"}　と表される
((前原),p.10,l.15,からl.17)

☆.4　定義について　(前原),p.9,l.18からp.10,l.3

*ヒルベルト空間とは距離が完備な内積空間である*と言ったような、日常的に数学で用いる言葉としての定義もある。無駄に定義をし過ぎても、なぜこんな定義をしたのか？等、疑念が湧くことさえある。
(実は同じ定義の内容であっても、様々な名称が付いていたりする。)
ただこれは、*可換環はAで表す*や、*虚数単位をiで表す*といった習慣によって混乱を避けることも可能である。(記述しようとしている数学的理論の内容で多くに現れる用語とか記号とが混同しないように　といった配慮のときもある。)

☆.5　定義と記号列の例　　(前原),p.10,l.4からl.16

1)  ∨¬を⇒によって表わす　というのは、省略記法(即ち、定義)の一つの例である。
*これを省略記法として導入したのは、
記号列としての文字A,Bを考え、∨¬ABという記号列を考えれば、真理値は⇒ABを表される記号列と一致することからの帰結である。*

2)  これらの例はn°3で再び活用される。

(前原)(p.10,l.19からl.23)の**で囲まれた部分の補足。

≪Eの完備化≫は文字Eが文字Aと置き換えらえてしまうと、全く別の意味(性質)になってしまう。しかし、
文字xを含む定積分は文字xを文字yに置き換えても全く式に影響を与えない。そこで、この”変数“を論理記号として定めた、□のみとすることで、式に文字は現れない。ℕ、ℤ、≪Γ関数≫と表される記号列でも同様である。

(前原)(p.11,l.8からl.11)
ここでの∨A¬Bという記号列は本来、¬A∨Bという記号列を表している。
(先の定義の例にあった、⇒を用いると、¬A∨Bより、⇒ABの方が、記号列の数としては少ない。)

(前原)(p.11,l.12からl.16)
Aの中に現れるxを一つ一つ、つまり、逐次的にτと結びつける。Aという記号列を左から右に見て、xを見つけるごとにτと結びつけるイメージである。
記号列は有限だから、この結びつける操作はいつか終る。しかし、操作の途中であれば、まだτに結びつけられていない文字xもある。
最後にこの結びつけられた文字xを、□に置き換えるから、文字xは記号列Aに現れない。
つまり、記号列τ_x(A)は他の文字を代入しても式に影響を与えない文字の場所を記号列Aの中で示している。
τAという記号列は、Aという記号列よりもτの記号分だけ長い。


(前原)(p.11,l.18からl.21)
(B|x)Aという記号列も、τ_x(A)と同様、Aという記号列の中で左から右にxが現れるたびに、Bに置き換えるということである。(B|x)τ_x(A)のうちτ_x(A)のxが全てτと鎖で結ばれていれば、□と置き換えられるので、xはτ_x(A)と表される記号列には現れない。故に、
(B|x)τ_x(A)はτ_x(A)と一致する事が分かる。

(前原)(p.11,l.31からp.12,l.4)
A︴B,C︴はx',y'がx,yとも異なり、A,B,Cそれぞれに現れない相違なる文字として、(B|x')(C|y')(x'|x)(y'|y)Aと一致するというのは、
Aの中の、x,yをそれぞれ一つ一つ現れる度に、それぞれx',y'に換えるということである。この操作はいつか終る。(このことは記号列が有限列であることによる。)
故にx,y(即ちx',y')が記号列Aの中での位置が全て把握できる。従ってx',y'をそれぞれB,Cに置き換えることが可能となり、そのことはA︴B,C︴に他ならない。


第二回　終り。














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