Bourbaki 数学原論 集合論 1 番外編

ここではBourbaki　数学原論　集合論 1　の

演習問題、並びに、推論法則(Cで表される。仏:Crite´re Deductif) や、本文中で証明されなかったものを適宜示す。

加えて、Bourbakiに関する小話や、現代の用語との対応についても、必要とする読者の為に、提供する。

(この番外編では、解答の制作次第、適宜掲載していく。　読者によって、私の誤りが認められた場合には、コメント部分での指摘を乞う。)

S1〜S4、C1〜C21を列挙する。(Cの証明は除く)

明示的公理と非明示的公理はそれぞれ　定数　変数を有する。

定数である対象式の場合は、対象式としての文字xは、他の文字(としての対象式)には置き換えられない。

然らざる場合、つまり変数の場合には対象式xに関してその性質が真となるのならば、他の対象式としての文字に置き換え得る。

シェーマを適用することで得る関係式を非明示的公理という。

S1.

$$\begin{align}A\end{align}$$ がT.  の関係式ならば、関係式 $$\begin{align}(AouA)\Rightarrow A\end{align}$$ はT.  の公理である。

S2.

$$\begin{align}A,B\end{align}$$ がT. の関係式ならば、関係式 $$\begin{align}A\Rightarrow (AouB)\end{align}$$ はT.  の公理

S3.

$$\begin{align}A,B\end{align}$$ がT. の関係式ならば、関係式 $$\begin{align}(AouB)\Rightarrow (BouA)\end{align}$$ はT  の公理である。

S4.

$$\begin{align}A,B,C\end{align}$$ がT. の関係式ならば、関係式 $$\begin{align}(A\Rightarrow B)\Rightarrow ((CouA)\Rightarrow (CouB))\end{align}$$ はT. の公理である。

C1.(三段論法)

$$\begin{align}A,B\end{align}$$ を理論T. における関係式とする。 $$\begin{align}A,A\Rightarrow B\end{align}$$ がT  の定理であれば、 $$\begin{align}B\end{align}$$ はT  の定理である。

C2.

明示的公理が $$\begin{align}(T|x)A_1,...,(T|x)A_n\end{align}$$ である理論を(T|x)T  と表す。

$$\begin{align}A\end{align}$$ , $$\begin{align}T\end{align}$$ , $$\begin{align}x\end{align}$$ がそれぞれT. の定理、対象式、文字ならば、 $$\begin{align}(T|x)A\end{align}$$ は(T|x)T. の定理である。

C6.

$$\begin{align}A\Rightarrow B\end{align}$$ と $$\begin{align}B\Rightarrow C\end{align}$$ が

T   の定理ならば、 $$\begin{align}A\Rightarrow C\end{align}$$ はT   の定理である。

C22,C23,C24,C38,C39,C40,C41,C42の証明を以下に付す。

C.22

$$\begin{align}A\Leftrightarrow B\end{align}$$ がT.  の定理ならば

$$\begin{align} B\Leftrightarrow A\end{align}$$

はT.  の定理である。

証明.

$$\begin{align} A\Leftrightarrow B\end{align}$$

がT   の定理ならば、C20によって、 $$\begin{align}A\Rightarrow B,B\Rightarrow A\end{align}$$ はT.  の定理であり、S3、再びC20を適用することによって、 $$\begin{align}(B\Rightarrow A)et(A\Rightarrow B)\end{align}$$ はT.  の定理。即ち、 $$\begin{align}B\Leftrightarrow A\end{align}$$ はT. の定理。  Fin          

次に、

$$\begin{align}A\Leftrightarrow  B\end{align}$$ 及び $$\begin{align}B\Leftrightarrow C\end{align}$$ がT   の定理ならば $$\begin{align}A\Leftrightarrow C\end{align}$$ はT   の定理である。

証明.

C20によって、 $$\begin{align}A\Rightarrow B,B\Rightarrow A\end{align}$$ と、

$$\begin{align}B\Rightarrow C,C\Rightarrow B\end{align}$$ はT   の定理

従って、C6をそれぞれに適用すれば、 $$\begin{align}A\Rightarrow C,C\Rightarrow A\end{align}$$ はそれぞれT. の定理。即ち、C20によって、所要の関係式はT. の定理。Fin

閑話休題.1

Bourbakiにもある、Elementsという言葉の語源は、Latin語ではJ,U,Wがなく、ギリシア語由来で用いられていた文字を除けば、アルファベットは22字となり、アルファベットの後半11字の頭3文字がL,M,Nであったことに由来する。　という説がある。